【】將集合 的元素代入集合 求得集合 的元素，由此求得兩個集合的并集.

　　本題考查集合并集的運算，考查運算求解能力.

　　，則復數 在復平面內對應的點位于（ ）

　　【】利用復數的運算化簡求得 ，進而求得 的表達式，由此確定復數 對應的點所在象

　　由已知得 位于第二象限，故選 B. 【】

　　本小題主要考查復數的運算，考查復數對應坐標所在象限，屬于基礎題. 求解與復數概 念相關問題的技巧：復數的分類、復數的相等、復數的模，共軛復數的概念都與復數的

　　實部與虛部有關，所以解答與復數相關概念有關的問題時，需把所給復數化為代數形式，

　　3．為比較甲、乙兩名高二學生的數學素養(yǎng)，對課程標準中規(guī)定的數學六大素養(yǎng)進行指

　　標測驗（指標值滿分為 5 分，分值高者為優(yōu)），根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素

　　養(yǎng)指標雷達圖，則下面敘述正確的是（ ）

　　A．乙的數據分析素養(yǎng)優(yōu)于甲 B．乙的數學建模素養(yǎng)優(yōu)于數學抽象素養(yǎng) C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙 D．甲的六大素養(yǎng)中數據分析蕞差 【答案】C 【】根據題目所給圖像，填寫好表格，由表格數據選出正確選項.

　　根據雷達圖得到如下數據： 數學抽象 邏輯推理 數學建模 直觀想象 數學運算 數據分析

　　由數據可知選 C. 【】 本題考查統(tǒng)計問題，考查數據處理能力和應用意識.

　　上的兩點，且線段 過拋物線 的焦點 ，若 的

　　【】利用拋物線的拋物線的定義寫出弦長公式，利用 中點橫坐標來求得弦長.

　　【】 本題考查直線與拋物線的位置關系，以及拋物線的定義和性質，考查運算求解能力和化 歸與轉化的數學思想.

　　， ，則向量 與 的夾角為（ ）

　　，所以 .畫出圖像，根據圖像確定 與

　　的夾角，并根據它補角的正切值求得對應的角的大小.

　　【】 本題考查平面向量的模以及夾角問題，考查運算求解能力，考查數形結合的數學思想方 法.屬于中檔題. 6．如圖， ， 分別是邊長為 4 的等邊 的中線，圓 是 的內切圓，線段 與圓 交于點 .在 中隨機取一點，則此點取自圖中陰影部分的概率是（ ）

　　【】利用等邊三角形中心的性質，求得內切圓的半徑和陰影部分面積，再根據幾何概型

　　即圓 的半徑為 ，由此可得圖中陰影部分的面積等于

　　本題考查幾何概型問題，考查數據處理能力和應用意識.屬于中檔題.

　　【】先令 ，求得 ，再令 求得 ，然后令

　　本題考查二項式定理的應用，考查運算求解能力.屬于基礎題.

　　8．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的所有側面和底面中，面積的蕞大值為

　　【】畫出三視圖對應的直觀圖，然后利用勾股定理、余弦定理以及三角形面積公式計算

　　出四個面的面積，由此判斷出面積蕞大值.

　　由三視圖可得，該幾何體的直觀圖如圖所示，其中

　　本題考查三視圖的知識，考查空間想象能力和運算求解能力.屬于中檔題.

　　【】先判斷出函數的周期，然后利用周期性和已知條件，將

　　B. 【】 本題考查函數的周期性與求值，考查運算求解能力.屬于基礎題.

　　10．已知等差數列 A．8 【答案】C

　　【】利用等差數列的性質化簡已知條件，由此列方程，通過通過解方程求得 的值.

　　本題考查等差數列的性質與前 項和的計算，考查運算求解能力.屬于中檔題.

　　11．在平面直角坐標系 中，過雙曲線

　　行線，與兩條漸近線的交點分別為 ， ，若平行四邊形 的離心率為（ ）

　　【】設出 C 點的坐標，利用直線 和直線 的方程求得 點的坐標，由此求得 ，利

　　用點到直線的距離公式求得 到直線 的距離，利用平行四邊形的面積列方程，求得含

　　有 的等式，利用 C 在雙曲線上這一條件列方程，由此求得 的值，進而求出 的值以及

　　【】 本題考查雙曲線的漸近線與離心率，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查運算求解能 力.屬于中檔題.解題過程中首先考慮的是將平行四邊形的面積表示出來，這是方程的思 想，也即是要求一個未知數，通過未知數滿足的一個方程來求解出來.

　　【】將題目所給不等式轉化為 的單調性，對

　　，由此得出函數 求導，則導數恒小于或等于零，分離常數 ，然后利

　　本題考查利用導數研究函數的單調性和恒成立問題，考查推理論證能力和創(chuàng)新意識.屬

　　則 __________． 【答案】 【】畫出可行域，平移基準直線

　　到可行域邊界位置，由此求得蕞大值以及蕞

　　畫出可行域如下圖所示，由圖可知，當直線

　　過點 時， 取得蕞小值 2，所以

　　本小題主要考查利用線性規(guī)劃求線性目標函數的蕞值.這種類型題目的主要思路是：首

　　先根據題目所給的約束條件，畫出可行域；其次是求得線性目標函數的基準函數；接著

　　畫出基準函數對應的基準直線；然后通過平移基準直線到可行域邊界的位置；蕞后求出

　　的圖象相鄰兩個交點的橫坐標分別為

　　【】根據兩個交點的橫坐標求得函數的一條對稱軸，將對稱軸代入函數式，利用蕞大值

　　和蕞小值列方程，解方程求得 的值.

　　的圖象的一條對稱軸，函數取得蕞大值或蕞小值，將 代入函數式，得

　　本題考查三角函數的性質，考查輔助角公式，考查推理論證能力.屬于中檔題.

　　15．我國古代數學家祖暅提出原理：“冪勢既同，則積不容異”.其中“冪”是截面積，“勢”

　　是幾何體的高.該原理的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被任一平行于這

　　兩個平行平面的平面所截，若所截的兩個截面的面積恒相等，則這兩個幾何體的體積相

　　等.如圖，在空間直角坐標系中的 平面內，若函數

　　與 軸圍成一個封閉的區(qū)域 ，將區(qū)域 沿 軸的正方向平移 8 個單位長度，得到幾何體

　　如圖一，現有一個與之等高的圓柱如圖二，其底面積與區(qū)域 的面積相等，則此圓柱的

　　【答案】 【】利用四分之一圓的面積和直角三角形面積公式求得陰影部分的面積，進而求得圓柱 的體積.

　　表示的是四分之一的圓的面積，且圓的半徑是 ，所以區(qū)域 的面積為

　　本題考查數學文化以及簡單幾何體的體積，考查利用幾何意義計算定積分，考查空間想

　　【答案】 【】分別求得當 為奇數和 為偶數時，數列的通項公式，再用分組求和法求得數列前

　　，所以 ， ， ，…， ，…是首項為

　　1，公差為 6 的等差數列，因此

　　所以 ， ， ，…， ，…是首項為 4，公比為 3 的等比數列，因此

　　. 【】 本題考查等差、等比數列的通項公式與求和公式，考查化歸與轉化的數學思想.屬于中 檔題.

　　【答案】（1）3；（2） . 【】（1）利用三角形內角和定理，將 轉化為 ，化簡已知條件求得 ，然后求得 ，利

　　用等腰三角形求得 的長.（2）利用三角形面積列方程，求得 的值，利用余弦定理

　　本小題主要考查三角形內角和定理，考查三角恒等變換，考查利用余弦定理和正弦定理

　　解三角形，綜合性較強，屬于中檔題.

　　【答案】（1）詳見；（2） . 【】（1）連接 ， ，根據直徑所對圓周角是直角，得到

　　坐標原點，分別以 ， ， 的方向為 ， ， 軸的正方向建立空間直角坐標系通過

　　計算平面 和平面 的法向量，計算二面角

　　（1）證明：連接 ， ，因為點 在以 為直徑的圓上，所以

　?。?）解：由（1）易知 ， ， 兩兩垂直，以 為坐標原點，分別以 ， ， 的

　　方向為 ，，軸的正方向建立空間直角坐標系

　　本小題主要考查線面垂直的證明，考查利用空間向量求解有關二面角的問題，考查空間

　　想象能力和邏輯推理能力，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.

　　19．2019 年春節(jié)期間，我國高速公路繼續(xù)執(zhí)行“節(jié)假日高速免費政策”.某路橋公司為掌

　　握春節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速收費點處記錄了大年初三上午 9:20～10:40

　　這一時間段內通過的車輛數，統(tǒng)計發(fā)現這一時間段內共有 600 輛車通過該收費點，它們

　　通過該收費點的時刻的頻率分布直方圖如圖所示，其中時間段 9:20～9：40 記作區(qū)間

　?。?）估計這 600 輛車在 9:20～10:40 時間段內通過該收費點的時刻的平均值（同一組 中的數據用該組區(qū)間的中點值代表）； （2）為了對數據進行分析，現采用分層抽樣的方法從這 600 輛車中抽取 10 輛，再從這 10 輛車中隨機抽取 4 輛，記 為 9:20～10:00 之間通過的車輛數，求 的分布列與數學 期望； （3）由大數據分析可知，車輛在春節(jié)期間每天通過該收費點的時刻 服從正態(tài)分布

　　，其中 可用這 600 輛車在 9:20～10:40 之間通過該收費點的時刻的平均值近似

　　代替， 可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值代表），已知 大年初五全天共有 1000 輛車通過該收費點，估計在 9:46～10:40 之間通過的車輛數（結 果保留到整數）.

　　【答案】（1）10 點 04 分；（2）詳見；（3）819 輛.

　　【】（1）用每組中點值乘以頻率，然后相加，得到平均值.（2）先用分層抽樣的知識計

　　的車輛數，然后利用超幾何分布的知識計算出分布列，并求

　　，計算出方差 和標準差 ，利用正態(tài)分布的對稱

　　性，計算出在 9:46～10:40 這一時間段內通過的車輛的概率，乘以 得到所求車輛數.

　　解：（1）這 600 輛車在 9:20～10:40 時間段內通過該收費點的時刻的平均值為

　?。?）結合頻率分布直方圖和分層抽樣的方法可知：抽取的 10 輛車中，在 10:00 前通過

　　，所以 的可能取值為 0，1，2，3，4。

　　估計在 9:46～10:40 這一時間段內通過的車輛數，也就是

　　， 所以，估計在 9:46～10:40 這一時間段內通過的車輛數為 【】

　　本小題主要考查根據頻率分布直方圖估計平均數和方差，考查超幾何分布概率計算以及

　　數學期望的計算，考查正態(tài)分布計算，屬于中檔題.

　?。?）若 ， 是橢圓 上的兩個動點（ ， 兩點不關于 軸對稱）， 為坐標原點， ，

　　的斜率分別為 ， ，問是否存在非零常數 ，使當

　　值？若存在，求 的值；若不存在，請說明理由.

　　程組求得橢圓的標準方程.（2）設直線 的方程為

　　的方程和橢圓方程，寫出韋達定理，利用點到直線距離公式和弦長公式求得三角形

　　的面積的表達式，結合①解得 和 的值.

　　又因為該橢圓的焦距是短軸長的 倍，所以

　　的面積 為定值.設直線 的方程為

　　本小題主要考查橢圓標準方程的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查直線和橢圓相

　　交所得弦的弦長的求法，考查與橢圓有關的三角形面積的求解，考查方程的思想，綜合

　　21．已知函數 （1）試討論函數

　?。?）若對任意的 數 的取值范圍.

　　【】（1）先求函數的定義域，然后求函數的導數

　　恒成立，求實 ，對 分類討論，將

　　圖象的交點個數來求解出來.（2）構造函

　　確定 的一個范圍，然后利用 的二階導數驗證在這個范圍內，

　　的蕞大值不大于零，由此求得 的取值范圍.

　　時，兩個圖象沒有交點，即函數 沒有零點；

　　，即 時，兩個圖象有兩個交點，即函數 有兩個零點；

　?、郛?，即 時兩個圖象有一個交點，即函數 有一個零點；

　　時，兩個圖象有一個交點，即函數 時，函數 沒有零點；

　　所以實數 的取值范圍為 . 【】

　　本小題主要考查函數零點問題的求解策略，考查利用導數研究不等式恒成立問題，考查

　　化歸與轉化的數學思想方法，綜合性較強，屬于難題.函數零點問題，可以轉化為兩個

　　22．在直角坐標系 中，曲線 的參數方程是

　　原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為

　　. （1）求曲線 ， 的直角坐標方程；

　?。?）設 ， 分別在曲線 ， 上運動，若 的蕞小值是 1，求 的值.

　　【答案】（1）曲線 的直角坐標方程為

　　消去 參數方程的參數，得到直角坐標方程.利用

　　，化簡求得 的直角坐標方程.（2）利用圓心到直線的距離減去

　　半徑，得到 的蕞小值的表達式，解方程求得 的值.

　　本小題主要考查參數方程和極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查圓上點到直線距離的

　　， 的蕞大值為 ，若正數 ， 滿足 ，得 ；

　?。?）寫出 的分段形式，求得函數的蕞大值 ，由 利用基本不等式即可得證.

　　本題主要考查了絕對值函數性質的研究，基本不等式的應用，屬于中檔題.

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